高中数学共轭复数公式在高中数学中，复数一个重要的聪明点，尤其是在涉及复数的运算、模与共轭等方面。共轭复数是复数中一个基础但关键的概念，掌握其公式和性质对于解决相关难题具有重要意义。下面内容是对“高中数学共轭复数公式”的重点划出来。

一、共轭复数的基本概念

复数一般表示为 $ z = a + bi $，其中 $ a $ 和 $ b $ 是实数，$ i $ 是虚数单位（满足 $ i^2 = -1 $）。

共轭复数是指将复数中的虚部符号取反后的复数，即：

$$

\overlinez} = a – bi

$$

其中，$ \overlinez} $ 表示 $ z $ 的共轭复数。

二、共轭复数的性质

性质	公式	说明
1	$ \overline\overlinez}} = z $	共轭复数的共轭复数是原复数本身
2	$ \overlinez_1 \pm z_2} = \overlinez_1} \pm \overlinez_2} $	共轭复数的加减法满足分配律
3	$ \overlinez_1 \cdot z_2} = \overlinez_1} \cdot \overlinez_2} $	共轭复数的乘法满足分配律
4	$ \overline\left( \fracz_1}z_2} \right)} = \frac\overlinez_1}}\overlinez_2}} $	共轭复数的除法也满足分配律
5	$ z + \overlinez} = 2a $	实部的两倍
6	$ z – \overlinez} = 2bi $	虚部的两倍
7	$ z \cdot \overlinez} = a^2 + b^2 $	复数与其共轭复数的乘积等于模的平方

三、共轭复数的应用

1. 求复数的模：

复数 $ z = a + bi $ 的模为：

$$

z = \sqrtz \cdot \overlinez}} = \sqrta^2 + b^2}

$$

2. 化简复数表达式：

在涉及分母有虚数的分式中，常通过乘以共轭复数来有理化分母。

例如：

$$

\frac1}a + bi} = \fraca – bi}(a + bi)(a – bi)} = \fraca – bi}a^2 + b^2}

$$

3. 解方程：

若多项式方程的系数为实数，则复数根必成对出现，即若 $ a + bi $ 是根，则 $ a – bi $ 也是根。

四、常见题型与例题解析

例题1：

已知复数 $ z = 3 + 4i $，求其共轭复数及模。

解：

共轭复数为 $ \overlinez} = 3 – 4i $，

模为 $ z = \sqrt3^2 + 4^2} = \sqrt9 + 16} = \sqrt25} = 5 $

例题2：

化简 $ \frac2 + i}1 – i} $

解：

乘以分母的共轭复数 $ 1 + i $：

$$

\frac2 + i}1 – i} \cdot \frac1 + i}1 + i} = \frac(2 + i)(1 + i)}(1 – i)(1 + i)} = \frac2 + 2i + i + i^2}1 – i^2} = \frac2 + 3i – 1}1 + 1} = \frac1 + 3i}2}

$$

五、拓展资料

共轭复数是复数运算中的重要工具，掌握其定义、性质及应用，有助于进步解题效率。通过表格形式可以更清晰地领会各个公式的含义和使用场景。在实际进修中，建议多做练习题，巩固对共轭复数的领会与运用。