点到平面的距离公式立体几何在立体几何中，点到平面的距离一个重要的概念，常用于解析几何、空间分析和工程计算等领域。掌握该公式的推导与应用，有助于领会三维空间中的几何关系。
一、公式拓展资料
点 $ P(x_0, y_0, z_0) $ 到平面 $ Ax + By + Cz + D = 0 $ 的距离 $ d $ 可以用下面内容公式计算：
$$
d = \frac
$$
其中：
– $ A, B, C $ 是平面法向量的分量；
– $ D $ 是平面方程中的常数项；
– 分母是法向量的模长，用于归一化距离。
二、公式说明
1. 法向量的影响：平面的一般式 $ Ax + By + Cz + D = 0 $ 中，$ (A, B, C) $ 是平面的法向量，路线垂直于平面。
2. 完全值的意义：由于距离为非负数，因此使用完全值符号确保结局为正。
3. 归一化处理：分母部分是法向量的长度，用于将点在法向量路线上的投影长度标准化为实际距离。
三、应用实例
| 点坐标 $ P(x_0, y_0, z_0) $ | 平面方程 $ Ax + By + Cz + D = 0 $ | 计算经过 | 距离 $ d $ | ||
| $ (1, 2, 3) $ | $ x + 2y + 3z – 6 = 0 $ | $ \frac | 1+4+9-6 | }\sqrt1+4+9}} = \frac8}\sqrt14}} $ | $ \frac8}\sqrt14}} $ |
| $ (0, 0, 0) $ | $ 2x – y + z + 5 = 0 $ | $ \frac | 0 – 0 + 0 + 5 | }\sqrt4+1+1}} = \frac5}\sqrt6}} $ | $ \frac5}\sqrt6}} $ |
| $ (-1, 2, 0) $ | $ 3x + 4y – 5z + 1 = 0 $ | $ \frac | -3 + 8 + 0 + 1 | }\sqrt9+16+25}} = \frac6}\sqrt50}} $ | $ \frac6}\sqrt50}} $ |
四、注意事项
– 若点在平面上，则距离为零；
– 公式适用于任意三维空间中的点安宁面；
– 当平面方程未写成标准形式时，应先将其整理为 $ Ax + By + Cz + D = 0 $ 的形式再代入公式；
– 在实际难题中，若已知平面的法向量和一点，也可以通过向量投影的方式计算距离。
五、拓展资料
点到平面的距离公式是立体几何中一个基础而实用的工具，其核心在于利用法向量的路线和点的坐标进行投影计算。掌握该公式不仅有助于解题，还能加深对三维空间结构的领会。通过表格形式的示例展示，可以更直观地领会和应用该公式。
