因式分解公式在数学进修中，因式分解一个重要的基础内容，广泛应用于代数运算、方程求解和简化表达式等经过中。掌握常见的因式分解公式，有助于进步解题效率，增强对多项式的领会能力。下面内容是对常见因式分解公式的重点划出来。
一、基本因式分解公式
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 提取公因式 | $ a \cdot b + a \cdot c = a(b + c) $ | 将相同因子提取出来 |
| 平方差公式 | $ a^2 – b^2 = (a – b)(a + b) $ | 两个平方的差可分解为两数和与差的乘积 |
| 完全平方公式 | $ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 $ | 三项构成一个完全平方 |
| 完全平方公式 | $ a^2 – 2ab + b^2 = (a – b)^2 $ | 三项构成一个完全平方 |
| 立方和公式 | $ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2) $ | 两个立方的和可分解为两数和与二次项的乘积 |
| 立方差公式 | $ a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2) $ | 两个立方的差可分解为两数差与二次项的乘积 |
| 三项式因式分解 | $ a^2 + (b + c)a + bc = (a + b)(a + c) $ | 适用于形如 $ x^2 + px + q $ 的二次三项式 |
二、进阶因式分解技巧
1. 分组分解法
当多项式项数较多时，可以将部分项组合在一起进行分解。例如：
$$
ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)
$$
2. 十字相乘法
适用于形如 $ ax^2 + bx + c $ 的二次三项式，通过寻找合适的因数组合来分解。例如：
$$
x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
$$
3. 配技巧
在无法直接分解时，可通过配技巧将其转化为平方形式。例如：
$$
x^2 + 4x + 3 = (x + 2)^2 – 1 = (x + 2 – 1)(x + 2 + 1) = (x + 1)(x + 3)
$$
三、注意事项
– 因式分解应尽可能彻底，直到不能再分解为止。
– 分解前先检查是否有公因式，优先提取。
– 对于高次多项式，可尝试使用多项式除法或试根法辅助分解。
通过熟练掌握这些因式分解公式和技巧，能够更高效地处理复杂的代数难题，提升数学思考能力和解题速度。建议多做练习题，加深对各类公式的领会和应用。
